2.7. Unmögliches Rechteck

Vorbemerkung

Das "Unmögliche Rechteck", hier immer kurz " UR " genannt, steht für eine Konstellation, bei der vier Zellen, die in den selben zwei Zeilen, zwei Spalten und zwei Blöcken liegen, "scheinbar" nur zwei Kandidaten zugewiesen werden könnten.

Dieser Komplex von Lösungsstrategien stützt sich im Gegensatz zu allen anderen bisher besprochenen Lösungsstrategien nicht auf die Ausfüllanweisung, wonach jedem der 27 Bereiche eines Stadard-Sudoku jede der Ziffern 1 bis 9 zuzuweisen ist. Die verschiedenen UR-Lösungsstrategien sützen sich auf die Tatsache, dass ein Standard-Sudoku nur eine Lösung haben darf, also auf die Eindeutigkeitsregel.

Diese Eindeutigkeitsregel muss nicht der Löser sondern der Ersteller eines Sudoku beachten. Man kann ein Sudoku erstellen, bei dem in jedem Bereich, also in jeder Zeile, jeder Spalte und in jedem Block, alle 9 Werte vertreten sind und trotzdem kann das Sudoku ungültig sein, weil es zum Beispiel zwei Lösungen hat.

Sehen Sie sich dieses Beispiel an:

Bis auf vier Zellen ist dieses Sudoku gelöst.

In den vier noch ungelösten Zellen sind ausschließlich die beiden Kandidaten 2 und 7 vertreten.

Je zwei der vier ungelösten Zellen liegen in den Zeilen 6 und 8, den Spalten 1 und 3 und den Blöcken 4 und 7.

Würde man der Zelle in z6s1 die 2 zuweisen, müsste in z6s3 und z8s1 die 7 und in z8s2 die 2 zugewiesen werden. Damit wären in allen Bereichen dieses Sudoku, also in allen Zeilen, Spalten und Blöcken alle Kandidaten von 1 bis 9 vertreten.

Das selbe, nur mit vertauschten Werten, würde zutreffen wenn man der Zelle in z6s1 an Stelle der 2 die 7 zuweisen würde.

Es gibt also für dieses Sudoku zwei Lösungen.

Eine solche Situation kann es in einem eindeutig lösbarem Sudoku nicht geben.

Wenn in einem eindeutig lösbaren Sudoku in in vier Zellen, die alle in zwei Zeilen, zwei Spalten und zwei Blöcken liegen, die selben beiden Kandidaten vertreten sind, müssen außer diesen beiden Kandidaten mindestens in einer der vier Zellen noch weiterere Kandidaten (mindestens einer) vertreten sein, über die es möglich ist, mindestens einer dieser vier Zellen keinen dieser beiden Kandidaten zuzuweisen.

Daraus lässt sich folgende Generalregel ableiten:

UR-Generalregel

In einem gültigen Sudoku kann es nicht sein, dass vier Zellen, von denen je zwei in zwei Zeilen, zwei Spalten und zwei Blöcken liegen, nur zwei verschiedene Werte zugewiesen werden.

Von dieser Generalregel lassen sich eine Reihe spezieller Anwendungsfälle ableiten. Bevor diese beschrieben werden, müssen die dabei verwendeten Begriffe definiert werden.

Verwendete Begriffe:

UR-Konstellation vier Zellen in zwei Zeilen, zwei Spalten und zwei Blöcken, denen nach dem aktuellen Erkenntnisstand scheinbar genau zwei Werte zugewiesen werden könnten
UR-Zellen die vier Zellen einer UR-Konstellation
UR-Reihen die vier Reihen, in denen die vier UR-Zellen liegen
UR-Kandidaten die beiden Kandidaten a und b, die nicht ausschließlich in den vier UR-Zellen vertreten sein können
starker UR-Kandidat Ur-Kandidat einer Reihe, in welcher er ausschließlich in den beiden UR-Zellen vertreten ist
schwacher UR-Kandidat Ur-Kandidat einer Reihe, in welcher er auch außerhalb der beiden UR-Zellen vertreten ist
Zusatzkandidat in den UR-Zellen vertretener Kandidat, der nicht UR-Kandidat ist
Multizellen UR-Zellen mit Zusatzkandidaten
Solozellen UR-Zellen ohne Zusatzkandidaten

Wie stellt man fest, welche Kandidaten UR-Kandiaten sind?

Müssen alle UR-Kandidaten in allen UR-Zellen vertreten sein?

Auch wenn es die Regel sein wird, dass in jeder der vier UR-Zellen beide UR-Kandidaten vertreten sind, muss das nicht immer so sein. Es muss nur nach dem aktuellen Auswertungsstand noch möglich erscheinen, dass in vier Zellen, welche genau in zwei Zeilen, zwei Spalten und zwei Blöcken liegen auch genau zwei Lösungswerte zugewiesen werden.

Hinweise:

  1. UR-Kandidaten werden nicht ausgeschlossen, damit es zu keiner Austauschsituation kommt. Sie werden ausgeschlossen, weil es eine Austauschsituation nicht geben kann.

  2. Eine UR-Konstellation kann niemals zerstört werden, sie kann nur aufgelöst werden.

  3. Eine UR-Konstellation ist erst dann aufgelöst, wenn für mindestens eine der vier UR-Zellen alle in Betracht kommenden UR-Kandidaten ausgeschlossen werden konnten.

Einteilung der UR-Auswertungsmöglichkeiten:

Die UR-Strategien sind in vier Gruppen eingeteilt. Die ersten drei (UR 1, UR 2 und UR 3) haben ihre Benennung von der Anzahl der Multizellen und als Ziel den Ausschluss von UR-Kandidaten aus den UR-Zellen. Theoretisch kann unter bestimmten Umständen eine UR-Konstellation mit vier Multizellen (UR 4) auch ausgewertet werden, was aber in der Praxis keine Bedeutung hat, weshalb auf die Darstellung dieser Möglichkeiten hier verzichtet wurde.

Die vierte Gruppe (UR 5) beinhaltet alle über UR 1 bis UR 4 nicht abgedeckten Auswertungsmöglichkeiten einer UR-Konstellation.

Wichtig:

Der Ausschluss von UR-Kandidaten hat zur Folge, dass eine UR-Konstellation entweder aufgelöst, zumindest aber in ihrer Erkennbarkeit "gestört" wird. Daher sollte grundsätzlich vor dem Ausschluss von UR-Kanddaten über UR 2 oder UR 3 geprüft werden, ob ein Ausschluss über UR 5 möglich ist.